LEY DE COULOMB (Cargas puntuales)

La ley de Coulomb permite determinar la fuerza entre dos cargas puntuales, $Q_1$ y $Q_2$, separadas una distancia r. (en otros textos la distancia también es representada como d)

El físico francés Charles-Augustin de Coulomb estudió el comportamiento de las cargas eléctricas y las fuerzas de atracción o repulsión que ejercen unas con otras, coulomb logró argumentar que la fuerza que ejerce un pequeño objeto cargado sobre un segundo objeto pequeño cargado es directamente proporcional a la carga en cada uno de ellos. Esto es, si la carga en alguno de los objetos se duplica, la fuerza se duplica y si la carga en ambos objetos se duplica, entonces la fuerza aumenta a cuatro veces el valor original. Éste era el caso cuando la distancia entre las dos cargas permanecía constante. Coulomb encontró que, si la distancia entre las cargas aumentaba, la fuerza disminuía con el cuadrado de la distancia entre ellas. Esto es, si la distancia se aumenta al doble, la fuerza disminuye a un cuarto de su valor original.

Así, Coulomb concluyó que la fuerza F que un pequeño objeto cargado ejerce sobre otro pequeño objeto cargado es proporcional al producto de la magnitud de la carga en un objeto, $Q_1$, por la magnitud de la carga en el segundo objeto, $Q_2$, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia d entre ellos. 

Como ecuación, escribimos la ley de Coulomb como:

$$F=k\frac{\left|q_1q_2\right|}{r^2}$$

En la que k es una constante de proporcionalidad cuyo valor numérico depende del sistema de unidades que se emplee, usando el SI, este valor se calcula con la formula:

$$k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$$

Donde $\varepsilon_0$ es la permitividad eléctrica del aire en el vacío (también llamada constante dieléctrica), la cual tiene un valor de:

$$\varepsilon_0=8.8541878176\times{10}^{-12}\frac{C^2}{Nm^2}$$

Quedando entonces el valor de k como:

$$k=\frac{1}{4\pi\left(8.85\times{10}^{-12}\frac{C^2}{Nm^2}\right)}=8.99\times{10}^9\frac{Nm^2}{C^2}$$

o

$$k\approx9\times{10}^9\ \frac{{\rm Nm}^2}{C^2}$$

Nota importante: Coulomb dedujo que, si una esfera conductora cargada se ponía en contacto con una esfera idéntica neutra, la carga de la primera se repartiría en partes iguales debido a la simetría. Entonces:

$$q_{total}=q_1+q_2+⋯+q_n$$

Principio de superposición de fuerzas

como hemos visto, la ley de Coulomb describe sólo la interacción entre dos cargas puntuales. Los experimentos demuestran que cuando dos cargas ejercen fuerzas de manera simultánea sobre una tercera carga, la fuerza total que actúa sobre esa carga es la suma vectorial de las fuerzas que las dos cargas ejercerían individualmente. Esta propiedad importante, es llamada principio de superposición de fuerzas, y se cumple para cualquier número de cargas. Para un conjunto de partículas actuando sobre la carga 1, la fuerza resultante estará dada por:

Ley de coulomb: forma vectorial

La fuerza, por ser un vector, tiene propiedades de dirección, la dirección de la fuerza está determinada por los signos relativos de las dos cargas eléctricas. Suponiendo que tenemos dos cargas puntuales $q_1$ y $q_2$ separadas por una distancia $r_{12}$ (r de 1 a 2), y suponiendo a ambas del mismo signo de modo que se repelen entre sí. Consideremos la fuerza sobre la partícula 1 ejercida por la partícula 2, lo que escribimos usualmente como $F_{12}$. El vector de posición que ubica a la partícula 1 en relación con la partícula 2 es $r_{12}$; esto si definiéramos el origen de nuestro sistema de coordenadas en la ubicación de la partícula 2, entonces $r_{12}$ sería el vector de posición de la partícula 1.

Si las dos cargas tienen el mismo signo entonces la fuerza es de repulsión y como se muestra en la imagen a), $F_{12}$ debe ser para lelo a $r_{12}$. Si las cargas tienen signos opuestos, como en la imagen b), entonces la fuerza $F_{12}$ es de atracción y antiparalela a $r_{12}$. En cualquier caso, podemos representar a la fuerza como:

$$F_{12}=k\frac{q_1q_2}{r_{12}^2}{\hat{r}}_{12}$$

Aquí $r_{12}$ representa la magnitud del vector $r_{12}$, y $r ̂_{12}$ indica al vector unitario en la dirección de $r_{12}$. Es decir, 

$${\hat{r}}_{12}=\frac{{\vec{r}}_{12}}{\left|{\vec{r}}_{12}\right|}$$

De la ecuación anterior se desprende otra característica, de acuerdo con la tercera ley de newton, la fuerza ejercida sobre la partícula 2 por la partícula 1, $F_{21}$, es opuesta a $F_{12}$. Esta fuerza puede entonces expresarse de la misma firma exactamente:

$$F_{21}=k\frac{q_1q_2}{r_{21}^2}{\hat{r}}_{21}$$